A. Pengertian Himpunan
Himpunan diperkenalkan oleh George Cantor (1845 – 1918), seorang ahli matematika Jerman. Ia menyatakan bahwa himpunan adalah kumpulan atas objek-objek. Objek tersebut dapat berupa benda abstrak maupun kongkret. Pada dasarnya benda-benda dalam suatu himpunan tidak harus mempunyai kesamaan sifat/karakter atau Himpunan merupakan kumpulan benda-benda atau objek-objek yang didefinisikan dengan jelas.
Anggota atau elemen adalah benda-benda atau objek-objek yang termasuk dalam sebuah himpunan.
Contoh:
Himpunan yang merupakan himpunan: – Himpunan anak yang berusia 12 tahun
– Himpunan bilangan asli genap
– Himpunan pulau-pulau di Indonesia
Himpunan yang bukan merupakan himpunan: – Himpunan anak-anak malas
– Himpunan wanita-wanita cantik
– Himpunan lukisan indah
B. Cara Penulisan Himpunan
Ada empat cara untuk menyatakan suatu himpunan
1) Dengan menyebutkan semua anggotanya (roster) yang diletakkan di dalam sepasang tanda kurung kurawal, dan di antara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma. Cara ini disebut juga cara Tabulasi.
Contoh: A = {a, i, u, e, o} B = {Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu}
2) menyebutkan syarat anggota-anggotanya, cara ini disebut juga cara Deskripsi.
Contoh: ambil bilangan asli kurang dari 5
A = bilangan asli kurang dari 5
3) Notasi Pembentuk Himpunan : dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum (role) dari anggotanya.
Contoh Soal :
A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 5
Dengan notasi pembentuk himpunan, di tulis:
{x|x < 5, x bilangan asli }
4) Himpunan juga dapat di sajikan secara grafis.
Contoh :
C. Keanggotaan Himpunan
Himpunan selalu dinyatakan dengan huruf besar,seperti A,B,C,dan seterusnya. Untuk menyatakan anggota suatu himpunan digunakan lambang “Δ (baca: anggota) sedangkan untuk menyatakan bukan anggota suatu himpunan digunakan lambing” Ï” (baca: bukan anggota).
A = {a, b, c} menyatakan bahwa himpunan A anggota-anggotanya adalah a, b, dan c.
Ditulis: a Î A; b Î A; dan c Î A
Bukan keanggotaan suatu himpunan A.
Jika A = {a, b, c} maka d bukan anggota himpunan A.
Ditulis: d Ï A.
Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:
v Banyaknya anggota himpunan
Banyaknya unsur dari suatu himpunan disebut bilangan cardinal dari himpunan tersebut │A│dibaca “banyaknya anggota himpunan A, kardinal (A).
Contoh :
A = { 1,2,3,4,5}
│A│ = 5
D. Jenis Himpunan
1) Himpunan Bagian (Subset).
Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B ditulis A ⊂ B ”, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B.
Syarat :
Contoh :
Misal A = { 1,2,3,4,5 } dan B = { 2,4} maka B ⊂ A
Sebab setiap elemen dalam B merupakan elemen dalam A, tetapi tidak sebaliknya.
Penjelasan : Dari definisi diatas himpunan bagian harus mempunyai unsur himpunan A juga merupakan unsur himpunan B.artinya kedua himpunan itu harus saling berkaitan.
2) Himpunan Kosong (Nullset)
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai unsur anggota yang sama - sama sekali.
Syarat :
Himpunan kosong = A atau { }
Himpunan kosong adalah tunggal
Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan
Perhatikan : himpunan kosong tidak boleh di nyatakan dengan { 0 }.
Sebab : { 0 } ≠ { }
Contoh : A = {x Î R |x2 + 4 = 0}
Dalam hal ini jelas tidak ada harimau yang hidup di air maka A = ø
Penjelasan : dari definisi diatas himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai satupun anggota, dan biasanya himpunan kosong dinotasikan dengan huruf yunani ø (phi).
3) Himpunan Semesta
Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan “U” atau “S” (Universum) yang berarti himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan atau kata lainya himpunan dari objek yang sedang dibicarakan.
Contoh :
a. Apabila kita membicarakan himpunan A {2,3,5,7} maka yang dapat menjadi himpunan semesta adalah:
U = himpunan bilangan cacah
4) Himpunan Sama (Equal)
Bila setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B, begitu pula sebaliknya.di notasikan dengan A=B
Syarat : Dua buah himpunan anggotanya harus sama.
Contoh :
A ={ c,d,e} B={ c,d,e } Maka A = B
Penjelasan : Himpunan equal atau himpunan sama,memiliki dua buah himpunan yang anggotanya sama misalkan anggota himpunan A {c,d,e} maka himpunan B pun akan memiliki anggota yaitu { c,d,e }.
5) Himpunan Lepas
Himpunan lepas adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya tidak ada yang sama.
Contoh C = {1, 3, 5, 7} dan D = {2, 4, 6} Maka himpunan C dan himpunan D saling lepas.
Catatan : Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satu pun anggota yang sama
6) Himpunan Komplemen (Complement set)
Himpunan komplemen dapat di nyatakan dengan notasi AC . Himpunan komplemen jika di misalkan S = {1,2,3,4,5,6,7} dan A = {3,4,5}
maka A ⊂ U.
Himpunan {1,2,6,7} juga merupakan komplemen, jadi AC = {1,2,6,7}. Dengan notasi pembentuk himpunan ditulis :
AC = {x│x Є U, x Є A}
7) Himpunan Ekuivalen (Equal Set)
Himpunan ekuivalen adalah himpunan yang anggotanya sama banyak dengan himpunan lain.
Syarat : Bilangan cardinal dinyatakan dengan notasi n (A) A≈B, dikatakan sederajat atau ekivalen, jika himpunan A ekivalen dengan himpunan B,
Contoh :
A = { w,x,y,z }→n (A) = 4
B = { r,s,t,u } →n (B) = 4
Maka n (A) =n (B) →A≈B
Penjelasan : himpunan ekivalen mempunyai bilangan cardinal dari himpunan tersebut, bila himpunan A beranggotakan 4 karakter maka himpunan B pun beranggotakan 4.
E. Operasi Himpunan
a. Irisan
Notasi : A n B = { x|xÎA dan xÎB }
1. Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A∈B = {4, 10} 2. Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka AnB = Æ .
b. Gabungan
Notasi : AÈB = { x|xÎA atau xÎB }
Contoh :
1. Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22}, maka AÈB = { 2, 5, 7, 8, 22 }
2. È Æ A = A
c. Komplemen
Notasi : = { x|x Î U, x Ï A }
Contoh : Misalkan U = {1, 2, 3, ..., 9 },
Jika A = {1, 3, 7, 9}, maka Ā = {2, 4, 6, 8} Jika A = { x | x/2 Î P, x< 9 }, maka Ā = { 1, 3, 5, 7, 9 }
contoh :
- A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri - B = himpunan semua mobil impor - C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990 - D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta - E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu
1. “mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar negeri” → (E∈A) È (E∈B) atau E∈ (AÈB)
2. “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta” → A∈C∈D
3. “semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari Rp 100 juta” →
d. Selisih
Notasi : A – B = { x|x Î A dan x Ï B } = A ∈ Ḃ
Contoh :
1. Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } danB = { 2, 4, 6, 8, 10 },
maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A = Æ
2. {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}
F. Prinsip Dualitas
Dalam sistem Aljabar Boolean dengan himpunan S dengan 0, 1 pada S serta operasi (+) dan (.). Ada himpunan S’ dengan mengganti 0 dengan 1, 1 dengan 0, (+) dengan (.), dan (.) dengan (+) berlaku semua aksioma Aljabar Boolean maka S’ disebut Dual dari S.
Teorema
Untuk setiap elemen a pada S berlaku :
1. a + a = a dan a . a = a
2. a + 1 = 1 dan a . 0 = 0
3. a + a.b = a dan a . ( a + b ) = a
4. ( a . b )’ = a’ + b ‘ dan ( a + b )’ = a’ . b ‘
5. 0’ = 1 dan 1’ = 0
Akan dibukti teorema 1 dan 2, pembuktian teorema yang lain dijadikan sebagai latihan
dengan menggunakan aksioma yang berlaku pada sistem Aljabar Boolean
1. a + a = a
Bukti :
a + a = ( a + a ) . 1 identitas (.)
= ( a + a ) . ( a + a’ ) komplemen
= a + ( a . a’ ) distributif
= a + 0 komplemen
= a identitas (+)
Terbukti
a . a = a
Bukti :
a . a = ( a . a ) + 0 identitas (+)
= ( a . a ) + ( a . a’ ) komplemen
= a . ( a + a’ ) distributif
= a . 1 komplemen
= a identitas (.)
Terbukti
Maka a + a = a Dualnya adalah a . a = a
G. Relasi Dan Fungsi Relasi Biner
1. Relasi
Adalah hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan yang lain. Cara paling mudah untuk menyatakan hubungan antara elemen 2 himpunan adalah dengan himpunan pasangan terurut. Himpunan pasangan terurut diperoleh dari perkalian kartesian.
Definisi 1:
Perkalian kartesian (Cartesian products) antara himpunan A dan B ditulis: A x B didefinisikan sebagai semua himpunan pasangan terurut dengan komponen pertama adalah anggota himpunan A dan komponen kedua adlah anggota himpunan B.
A x B = { (x,y) / x∈A dan y∈B}
Definisi 2:
Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B.
A disebut daerah asal dari R (domain) dan B disebut daerah hasil (range) dari R.
Definisi 3:
Relasi pada A adalah relasi dari A ke A.
Contoh:
1.1 Misal A = {1,2,3}, B = {a,b}, maka :
A x B = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)}
1.2 Misal P = {2,4,8,9,15}, B = {2,3,4}. Relasi R dari P ke Q didefinisikan sebagai:
(p,q) ∈ R jika p habis dibagi q, maka:
R = {(2,2), (4,2), (8,2), (9,3), (15,3), (4,4), (8,4)}
1.3 Misal R adalah relasi pada A = {2,3,4,8,9} yang didefinisikan oleh (x,y)∈R jika x
adalah factor prima dari y, maka:
R = {(2,2), (2,4), (2,8), (3,3), (3,9)}
H. SIFAT – SIFAT RELASI BINER
1. REFLEKSIF
Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a,a) ∈ R untuk setiap a∈A.
Contoh: Misal A = {1,2,3,4} dan relasi R dibawah ini didefinisikan pada A, maka
a. R = {(1,1), (1,3), (2,1), (2,2), (3,3),(4,2), (4,3),(4,4)} bersifat refleksif.
b. R = {(1.1),(2,2),(2,3),(4,2),(4,3),(4,4)} bukan relasi refleksif karena (3,3)∉R.
2. SIMETRIS
Relasi R pada himpunan A disebut simetris jika (a,b) ∈ R maka (b,a)∈R untuk setiap a,b∈A.
Contoh:
R = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)}
3. TRANSITIF
Relasi R pada himpunan A disebut Transitif jika (a,b) ∈ R dan (b,c)∈R maka (a,c)∈R untuk setiap a,b,c∈A.
Contoh:
a. R = {(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)}
b. Relasi habis dibagi pada bilangan bulat positif.
RELASI N – ARAY
Adalah relasi yang menghubungkan lebih dari 2 himpunan. Relasi n-ary mempunyai terapan penting dalam basis data.
Contoh: Misal
NIM = {13598011,13598014,13598015,13598019,13598021,13598025}
Nama = {Amir, Santi, Irawan, Ahmad, Cecep, Hamdan}
MatKul = { Matematika Diskrit, Algoritma,Struktur Data, Arsitektur Komputer}
Nilai = {A,B,C,D,E}
Relasi MHS terdiri dari n-tuple (NIM,Nama, MatKul,Nilai} yang disajikan dalam table berikut:
Basis data (Database) adalah kumpulan table. Salah satu model basis data adalah model basisdata relasional. Pada basisdata relasional satu tabel menyatakan satu relasi. Setiap kolom pada table disebut atribut. Setiap tabel pada basisdata diimplementasikan secara fisik sebagai sebuah file. Satu baris pada tabel disebut record dan setiap atribut menyatakan sebuah field.
